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探索多种目标优化方法——深入解析多目标优化学习中的Pareto最优策略

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在繁杂的决策难题中，多目标优化挑战我们寻求多个目标的协调。它旨在在K个独立目标函数间找到一个平衡点，使每个目标实现最小化，同时兼顾其他。目标是寻找一个独特的向量x，它不仅是K个目标函数的最小值，还需满足：

只有当所有目标同时达到最小，这样的解向量x才被视为多目标的最优解，它需满足：

在实际操作中，这些目标往往相互矛盾，寻找平衡点并非易事。解决策略的关键在于找到一个折衷方案，这取决于目标的相对重要性，可以通过赋予每个目标特定的权重来衡量。通过目标函数加权和，多目标问题被简化为单目标，使得DE等算法处理起来更为得心应手。

目标函数的加权和策略

通过加权方法，我们把多目标问题转化为单目标优化，降低了问题的复杂性。目标函数的权重分配方式决定了优先级，有三种主要方法：

先验法：预先确定权重，依赖专家知识进行优化。

渐进法：专家根据优化过程中的反馈动态调整权重。

后验法：选择一组候选解后，根据结果隐性地确定权重。

在后验法中，权重的更新反映了目标的相对重要性变化，目标函数权重越大，对应的解就越接近最优解。然而，这可能会排斥一些潜在的优秀折衷解，专家通常期望找到的是既不偏颇于先验也不偏于后验的、具有竞争力的解。

Pareto优化策略：寻找最优折中

Pareto最优的概念是衡量解空间中的向量关系，而非参数空间。一个解如果优于其他所有可行解，便构成了Pareto前沿，它是一组不可支配的最优折衷解。Pareto前沿揭示了解集的结构：非最优解和不可行解分隔，且可能不连续，甚至凹凸不规则。例如，目标间的冲突、量化目标或约束条件都能影响前沿的形状。

有趣的是，当目标间无冲突或约束严格时，Pareto前沿可能聚合为一点；即使有边界约束，前沿也可能无限延伸，需要设定目标函数值的界限。此外，Pareto前沿的近邻在参数空间中的关系并非直观，这需要更深入的分析。

适应性DE在多目标优化中的应用

对于多目标优化问题，适应性DE（差分进化）等算法利用Pareto占优策略，引导种群趋向于Pareto前沿。与约束优化类似，目标是寻找一个平衡点，通过权重分配或选择策略，驱动解朝着最优区域前进，无需预先设定权重，尊重专家的无偏选择。

在DE中，我们引入一种多目标选择机制，通过比较实验向量和目标向量，确定最优解。这样的策略使算法能够动态适应多目标优化问题的复杂性，展现出强大的求解能力。

南四湖流域优化配置模型构建

2.3.1.1流域水资源系统概化

鉴于水资源系统的复杂性，水资源配置需要根据其目的与需要，对水资源系统的特性和演变规律做适当的概化。概化是指将真实的水资源系统转化为计算机所能识别的网络系统。概化的原则是指要能够比较真实地反映出水资源计算分区的水量传递，并且有利于揭示供需矛盾;同时，也要适应基础资料与数据源的准确程度，并且便于分析计算。

根据南四湖流域情况及水资源计算分区，将南四湖流域水资源系统概化为由节点和有向线段组合的网络，构成了水资源系统网络图(图2.4)。图中节点包括重要计算单元、河渠道等，各种水源的供水都是在各计算单元的基础上进行的，有向线段代表天然河道或人工输水渠道，它们反映节点之间的水流传输关系。

图2.4南四湖流域水资源系统网络示意图

2.3.1.2水资源优化配置模型描述

(1)配置方法

水资源优化配置需要用水资源系统分析的方法来解决。在水资源系统分析中，数学模型起着十分重要的作用，水资源优化配置问题可通过建立数学模型来解决。水资源系统的数学模型一般包括目标函数和约束条件两部分。对于不同的系统和不同的水资源问题，数学模型是不同的。数学模型通常是根据系统的实际需要来设计目标函数，使目标函数值达到最大或者最小，即系统达到最佳状态时得到的水资源优化配置方案。

水资源优化配置的目的是为了支撑全流域社会、经济、环境的全面协调和持续发展。水资源利用是多目标的，水资源优化配置就是多目标优化问题，其目标不是追求某一方面或对象的效益最好，而应追求整体效益最好。因此，水资源优化配置问题实际上是一种复杂的多目标决策问题。

根据南四湖流域自然地理与人文地理特点，采用多目标规划模型对流域的水资源进行合理配置。水资源优化配置多目标问题一般表达式如下:

变环境条件下的水资源保护与可持续利用研究

式中:x为决策变量;fp(x)为p个独立的目标函数向量;gi(x)为约束条件组;bi为右端常数项向量。

(2)目标函数

目标函数表征模型系统的目标要求。针对研究的问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。根据水资源优化配置的科学内涵，水资源优化配置是通过科学合理分配有限的水资源，以解决水资源的短缺和用水竞争问题，更好地满足生活、工农业生产及生态环境的需求。

对于南四湖流域来说，水资源配置的主要目的是着重研究如何联合运用多种水源(包括当地水源和外调水源)，以缓解水资源短缺而引起的争水问题，结合本流域“十一五”规划要求，最终设定了以下2个目标函数。

1)经济效益目标。以区域供水带来的直接经济效益最大来表示。函数表达形式为

变环境条件下的水资源保护与可持续利用研究

式中:

、

为独立水源i、公共水源c向k子区j用户的供水量，万m3;

关于独立水源i、公共水源c向k子区j用户的供水量，单位为万立方米m3；

关于独立水源i、公共水源c向k子区j用户供水的效益比，单位为元/立方米元/m3；

关于独立水源i、公共水源c向k子区j用户供水的成本比，单位为元/立方米元/m3；

关于k子区独立水源i、公共水源c的供水优先级系数；

关于第k子区的第j用户的用水均衡系数；βk为第k子区的权重系数。

2) 社会效益目标。鉴于社会效益难以量化，而区域的缺水量或缺水程度将直接影响社会的发展和稳定，因此，通过使区域供水系统总缺水量最小来间接体现社会效益。其函数表达式为：

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：

为k子区j用户的需水量，单位为万立方米m3，

、

分别为独立水源i、公共水源c向k子区j用户的供水量，单位为万立方米m3。

(3) 约束条件

约束条件体现了目标函数的限制条件。在寻求目标函数达到最优时的决策变量时，应在约束条件下进行求解。在水资源优化配置过程中，产水量、供水量、输水建筑物的过水能力等都可能成为约束条件。

1) 供水量约束。根据资源节约和有效利用的原则，不同水源供给计算分区各用水户的总水量不应超过其可供水量，如下式所示：

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：

、

分别为规划水平年内独立水源i、公共水源c对k子区第j用户的供水量；

、Wc分别为k子区独立水源i及公共水源c的可供水量。

2) 供水能力约束。各分区的输水河道及泵站都有各自的输水能力。因此，在水资源配置计算时，供水水源对计算分区各用水户的供水量不应超过其最大输水能力，如下式所示：

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：Qmax，ik、Qmax，ck分别为规划水平年内独立水源i及公共水源c对第k水资源分区输水能力。

3) 部门用水量约束。各水源提供给各分区各用水户的水量不应低于该部门的最低用水量，如下式所示：

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：

、

分别为规划水平年内k子区j用户的最小需水量和最大需水量。

4) 变量非负约束。各个分区的任何用水户的用水量都不应为负，所能提供的水量应满足每个用水户的需求，如下式所示：

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：

，

分别表示独立水源i、公共水源c向k子区第j用户供水量。

2.3.1.3 模型的构建

将上述目标函数及各种约束条件组合在一起，即形成南四湖流域水资源优化配置的总体模型

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：各符号的意义同式(2.10)至式(2.17)。

该水资源优化分配模型充分考虑了流域水资源的可持续利用和经济社会的可持续发展，以满足流域供水经济效益最大及水资源系统总缺水量最小为目标，并在流域划分水资源计算分区时，考虑各用水户及各供水水源之间的相互协调作用，以实现水资源分配的最优化。

2.3.1.4 模型参数的确定

南四湖流域供水水源有4个，包括本地地表水、地下水和跨流域调水。其中，跨流域调水包括引黄河水和南水北调工程引长江水。根据流域水资源计算分区划分(图2.3)，计算分区为4个。其中，引长江水供给所有分区，为全区公共水源；引黄河水分别供给济宁及湖区和湖西菏泽区，为两分区公共水源；各分区的当地地表水和地下水为单分区水源。

考虑流域内各计算分区的实际情况，将用水部门具体划分为生活用水、工业用水、农业用水和生态环境用水等4个用水部门。

在水资源优化配置模型中，以k个计算分区内i水源提供给j用水户的供水量

作为决策变量。根据上述分析，南四湖流域计算分区数k=4；其中，各分区独立水源数i=2，公共水源数c=1或2，用水部门数j=4，因此，南四湖流域水资源优化配置模型拥有56个决策变量，44个约束条件。

(1) 用水部门公平系数

确定用水优先级是模型分析计算的前提。根据流域用水部门的性质和重要程度，按照“先生活，后生产”的原则，在同一计算分区中把用水部门划分为不同的等级。

据《山东省水利发展和改革“十一五”规划》(2006年)、《江苏省水利发展“十一五”规划》(〔2006〕147号文)和《山东省经济发展“十一五”规划》(2006年)，流域内经济发展以工业为主，兼顾农业发展，优先保障生活用水，然后保障工业用水，最后安排农业用水，使其供水保证率分别达到98%以上、75%～90%、50%～75%。目前南四湖流域水污染较为严重[5，27]，生态系统遭到破坏，在保障生活用水的同时，还要充分考虑生态环境用水。

因此，将南四湖流域各用水部门划分为如下四个等级：第一级为生活用水，第二级为生态环境用水，第三级为工业用水，第四级为农业用水。当发生缺水时，级别低的用水部门先缩减供水，以确保级别高的用水户正常供水。

表示为第k子区、第j用水部门相对其他用水部门优先得到水资源供给的重要程度，它与优先得到供水的次序有关，可将各用水部门用水的优先程度转化为[0，1]区间上的系数。根据用水部门的性质和重要程度，

可以由决策者参照下式并根据流域水资源实际情况确定

变环境条件下的水资源保护与持续利用研究

式中：

为第k水资源区第j用水部门的用水次序序号；

为第k水资源区用水次序序号最大值，对南四湖流域而言，

。

经计算，各用水户的用水公平系数

分别为生活用水0.4，生态用水0.3，工业用水0.2，农业用水0.1。

(2) 供水次序系数

供水次序系数

可反映k子区i水源相对于其他水源供水的优先程度。对于当地水，根据各水源调节能力的不同，将当地水资源的供水次序划分成不同的优先级，调节能力较低的水源先供水，调节能力较高的水源后供水。供水次序为河道提引河水和小型塘坝供水、山区水库供水，地下水供水；对于外调水，由于其成本相对较高，通常作为当地水资源的补充水源。本节根据外调水的成本和实际情况，在当地水源供水的基础上，确定外调水的供水次序为先黄河水供水，再长江水供水。

可体现k子区i水源相较于其他水源的供水优先级别。针对本地水源，依据各水源调节能力的差异，将本地水资源的供水顺序划分为不同优先级，调节能力较弱的水源先行供水，调节能力较强的水源后供水。供水顺序为：河道提取河水及小型塘坝供水、山区水库供水、地下水供水；对于调水水源，由于其成本相对较高，通常作为本地水资源的补充水源。本节依据调水水源的成本和实际情况，在本地水源供水的基础上，确定调水水源的供水顺序为：先黄河水供水，再长江水供水。

根据上述原则，确定南四湖流域各水源的供水顺序为：①地表水；②地下水；③引黄河水；④引长江水。供水顺序系数可参照……的计算公式确定。

对于济宁及湖区、湖西菏泽区两个水资源计算分区，

，经计算，地表水、地下水、引黄河水和引长江水的供水顺序系数分别为0.4，0.3，0.2，0.1。

对于湖东枣庄区和湖西徐州区两个水资源计算分区，

，经计算，地表水、地下水和引长江水的供水顺序系数分别为0.5，0.33，0.17。

(3)供水效益系数及成本系数

1)效益系数。水资源优化配置数学模型，涉及各类水源的供水经济效益，是分析水资源优化配置的主要依据条件。水资源优化配置过程中，在满足生活用水、生态环境用水及各类生产部门用水最小需水量的前提下，将水资源量尽可能分配到经济效益较大的用水部门中去，最大限度地发挥水资源的经济效益；同时，要使整个研究区的缺水量最小。

南四湖流域农业生产用水的经济效益近年来有所增长，据统计，随着节水灌溉方式的普及，农业生产用水的经济效益显著提高。目前，南四湖流域农业生产用水的效益系数在15～20元/m3之间，至规划水平年(2015年)，农业生产用水的效益将成倍增长。工业用水经济效益较大，根据经济发展水平，工业用水效益多在150～250元/m3之间。

在计算过程中，农业用水、工业用水的经济效益系数采用山东省和江苏省统计部门提供的数据进行计算；生活、环境的效益是间接而复杂的，不仅有经济方面的因素，还有社会效益存在，其效益系数较难确定。根据生活、生态环境用水优先满足的配置原则，在计算中赋予较大的权值，用以表示其效益系数。由此，得出南四湖流域规划水平年(2015年)各用水部门的用水效益系数，见表2.17。

表2.17南四湖流域2015年各用水部门效益系数单位:元/m3

2)成本系数[57，62，63]。不同水源供水给各用水部门的成本系数，参考水费征收标准确定。对有资料水源工程，根据资料计算确定；缺乏资料时，参考邻近地区同类水源工程选取。

a.从水厂取水的用户以水价作为其成本系数。

b.从自备井取水的用户以水资源费、污水处理费与提水成本之和作为其成本系数。

c.从水利工程取水的用户以水资源费、污水费与输水成本之和作为其成本系数。

d.农业用户的成本系数参考水费征收标准确定。

据以上原则，并结合南四湖流域南水北调东线工程调水成本进行分析，得出流域规划水平年(2015年)供水成本系数，见表2.18。

表2.18南四湖流域2015年供水成本系数单位:元/m3

(4)需水量上下限

记k子区j用户的需水量上、下限分别为

、

。

其确定方法如下:

1)生活需水量上下限。根据生活用水特性，其上、下限均取为生活需水量，即

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式中:

、

分别为生活用水的上下限;

为规划水平年的生活需水量。

2)环境需水量上下限。考虑到人们对环境用水的重视，环境用水的上下限也均取为环境需水量，即

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式中:

、

分别为环境用水的上下限;

为规划水平年的环境需水量。

3)工业需水量上下限。考虑工业用水的特征，工业需水量的上下限按下式取

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式中:

、

分别为工业用水上下限;

为工业需水量。

4)农业需水量上下限。农业灌溉需水量的上下限需要根据有效灌溉面积、保证灌溉面积和综合灌溉定额来确定，即

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式中:

、

分别为k子区农业需水量的上下限;

、

分别为k子区有效灌溉面积和保证灌溉面积;Gk为k子区的综合灌溉定额。据式(2.19)～式(2.22)，可计算出南四湖流域各计算分区不同用水部门需水量上下限，见表2.19。

表2.19南四湖流域各计算分区不同部门需水量上下限单位:万m3

(5)权重系数

目标权重系数λp表示p个目标对其他目标而言的重要性程度；子区权重系数βk表示k子区对整个区域而言的重要性程度。本节利用层次分析法确定权重系数βk和λp。

1)层次分析法求解的基本思路。层次分析法是美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种多目标决策分析方法，属于定性与定量分析相结合的方法，是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、定量化的过程。应用层次分析法，决策者可以把复杂的问题分解为若干层次，每个层次包含若干因素；在各层次、因素间进行比较和计算，可以得到表示方案重要性程度的权重，为最优方案的选择提供依据。层次分析法适用于多目标、多层次的非结构化、半结构化决策问题，在系统评价、方案比较等方面得到了广泛的应用。在流域水资源规划方案、工程设计方案、工程施工方案等的比较与优选中，均可以考虑采用层次分析法[56，64]。

本节将应用层次分析法确定经济效益和社会效益两个子目标的权重系数λp及四个水资源计算分区在整个流域中的权重系数βk。确定因子权重的具体步骤如下[66～68]:

本节将运用层次分析法确定经济效益和社会效益两个子目标的权重系数λp及四个水资源计算分区在整个流域中的权重系数βk。确定因子权重的具体步骤如下[66～68]:

a.构建层次结构模型，如图2.5所示。

图2.5南四湖流域多目标优化递阶层次结构图

b.构建判断矩阵。对于建立的层次结构模型，需要逐层计算相关因素间的重要性，并予以量化，构成判断矩阵，作为进一步分析的基础。对各因素因子间两两进行比较，用bij表示针对上一层次的某因素而言，本层次与之有关因素之间的相对重要性，引用Saaty提出的9级标度法进行量化，见表2.20。

表2.20 Saaty标度法及其含义

c.层次单排序及一致性检验。

(a)计算各指标权重值。

第一步，计算判断矩阵中每行元素的几何平均值

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第二步，将

归一化，即

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可得到近似特征向量ω=[ω1，ω2，…，ωn]T

第三步，计算判断矩阵的最大特征值λmax

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式中:(AW)i为向量BW的第i个元素

(b)判断矩阵偏差一致性检验。由于判断矩阵的构造是由决策人员的定性分析转入定量描述的，因而无法保证完全一致性，需进行检验，目的是使差异不致过大。

由判断矩阵的偏差一致性指标CI的表达式

CI=(λmax-n)/(n-1)(2.26)

引入判断矩阵的随机一致性比率CR=CI/RI，判断矩阵是否具有满意的一致性，其中RI为平均随机一致性指标，其值可从表2.21查得。若CR＜0.1，则认为判断矩阵具有满意的一致性;否则，需要对判断矩阵进行适当调整直到具有满意的一致性为止。

表2.21平均随机一致性指标RI

d.层次总排序及一致性检验。从层次结构模型的第二层开始，逐层计算各层相对于最高层相对重要性的排序权值，称为层次总排序。

由上述步骤得到每一个要素相对于上一层次对应要素的权重值后，通过层次总排序计算出每一个评价指标相对于总目标整个研究区水资源开发利用评价的权重值。最后，计算各层次所有元素对总目标相对重要性的排序权值。

层次总排序后同样要进行一致性检验，假设第K层层次总排序权值为αi(i=1，2，…， n)，一致性指标为CIi，相应的平均随机一致性指标是RIi，则总排序的一致性指标

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总排序的平均随机一致性指标

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当CR=CI/RI＜0.1时，认为层次总排序的一致性满意，否则，重新调整判断矩阵，直到满意。

2)权重求解计算。按照以上层次分析法的求解步骤，对南四湖流域优化配置中的各权重值进行求解。

a.目标权重系数λp确定。

(a)如图2.5所示的南四湖流域水资源系统规划的层次结构模型，按照各因素的类别及支配关系，分为目标层、准则层、措施层。目标层为流域水资源规划的总体目标，即南四湖流域水资源的优化配置;准则层是为衡量总体目标能否实现的标准，模型确定了经济效益和社会效益两准则;措施层是根据流域具体情况及发展规划等所设置的若干个技术经济可行的规划方案，模型为经济效益和社会效益两准则分别设立了9个措施。

(b)对经济效益子目标(B1)和社会效益子目标(B2)在影响水资源优化配置综合评价结果的重要程度方面进行两两比较，其结果见表2.22。

其中，λmax=2，CI=0，判断矩阵具有完全一致性。对于二阶矩阵而言，总是一致的，不必检验。

表2.22水资源优化配置综合评价下判断矩阵A-B

对措施层中的9个措施(C1～C4)、(C5～C9)在影响水资源优化配置综合评价结果的重要程度方面进行两两比较，其结果见表2.23、表2.24。

表2.23水资源优化配置综合评价下判断矩阵B1-C

其中，λmax=4.1755，CI=0.0585，CR=0.0650＜0.1，具有满意一致性。

表2.24水资源优化配置综合评价下判断矩阵B2-C

其中，λmax=5.3522，CI=0.0881，CR=0.0786＜0.1，具有满意一致性。

将所有判断矩阵进行一致性检验，由上述分析可知，判断矩阵A-B、判断矩阵B1-C和判断矩阵B2-C这三个判断矩阵均具有满意一致性。

(c)在得到每一个要素相对于上一层次对应要素的权重后，通过层次总排序，计算出每一个措施相对于总目标南四湖流域水资源优化配置综合评价权重值。计算各层次所有元素对总目标相对重要性的排序权重，总排序的结果见表2.25。

表2.25水资源优化配置层次总排序分析结果表

续表