最优化方法课后习题答案,最优化方法课后答案宋巨龙

最优化方法课后习题答案
最优化方法是一门重要的数学学科，它在工程、经济和科学等领域中有着广泛的应用。在学习最优化方法的过程中，课后习题是非常重要的，它们可以帮助我们巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。本文将为大家提供最优化方法课后习题的答案。
一、线性规划
1. 求解下列线性规划问题：
$$
\\begin{aligned}
&\\max z = 3x_1 + 2x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\le 4\\\\
&2x_1 + x_2 \\le 5\\\\
&x_1, x_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
解：首先，将目标函数和约束条件画在坐标系中，如图1所示。
从图中可以看出，可行域为一个三角形，顶点分别为$(0,0),(0,4),(1.5,2.5)$。接下来，计算目标函数在各个顶点处的值：
$$
\\begin{aligned}
z_{(0,0)} &= 3\\cdot0 + 2\\cdot0 = 0\\\\
z_{(0,4)} &= 3\\cdot0 + 2\\cdot4 = 8\\\\
z_{(1.5,2.5)} &= 3\\cdot1.5 + 2\\cdot2.5 = 10
\\end{aligned}
$$
因此，当$x_1=1.5,x_2=2.5$时，目标函数取得最大值$z=10$。
2. 求解下列线性规划问题：
$$
\\begin{aligned}
&\\min z = 2x_1 - x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\ge 2\\\\
&2x_1 - x_2 \\le 4\\\\
&x_1, x_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
解：将不等式约束转化为等式约束，得到：
$$
\\begin{aligned}
&\\min z = 2x_1 - x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 - s_1 = 2\\\\
&2x_1 - x_2 + s_2 = 4\\\\
&x_1, x_2, s_1, s_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
构造初始单纯形表：
| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
|----|-------|-------|-------|-------|-----|
| $s_1$ | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| $s_2$ | 2 | -1 | 0 | 1 | 4 |
| $z$ | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
选取$z$行中系数最小的正数所在的列，即$x_1$列，然后将各行系数除以$x_1$列的系数，得到：
| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
|----|-------|-------|-------|-------|-----|
| $s_1$ | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| $s_2$ | 1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 2 |
| $z$ | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
选取$s_2$行中系数最小的正数所在的列，即$x_2$列，然后将各行系数除以$x_2$列的系数，得到：
| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
|----|-------|-------|-------|-------|-----|
| $s_1$ | 1.5 | 0 | 1 | -0.5 | 3 |
| $x_2$ | 2 | -1 | 0 | 1 | 4 |
| $z$ | -3 | 0 | 0 | 1 | -4 |
此时，目标函数系数中存在负数，需要继续迭代。选取$z$行中系数最小的负数所在的列，即$x_1$列，然后将各行系数除以$x_1$列的系数，得到：
| | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
|----|-------|-------|-------|-------|-----|
| $x_1$ | 1 | -0.67 | 0.33 | -0.17 | 1.33 |
| $x_2$ | 0 | 0.33 | -0.67 | 0.67 | 0.67 |
| $z$ | 0 | 2 | 2 | -1 | 4 |
此时，目标函数系数全部为非负数，且$x_1,x_2,s_1$三个变量的系数均为零，因此得到最优解$x_1=1.33,x_2=0.67$，最优目标函数值为$z=-2.33$。
二、非线性规划
1. 求解下列非线性规划问题：
$$
\\begin{aligned}
&\\min z = x_1^2 + x_2^2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\ge 2\\\\
&x_1, x_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
解：首先，将约束条件$x_1+x_2\\ge2$转化为$x_1+x_2-2\\ge0$，然后构造Lagrange函数：
$$
L(x_1,x_2,\\lambda) = x_1^2+x_2^2+\\lambda(x_1+x_2-2)
$$
求解$L$函数的偏导数：
$$
\\begin{aligned}
\\frac{\\partial L}{\\partial x_1} &= 2x_1+\\lambda\\\\
\\frac{\\partial L}{\\partial x_2} &= 2x_2+\\lambda\\\\
\\frac{\\partial L}{\\partial \\lambda} &= x_1+x_2-2
\\end{aligned}
$$
令偏导数为零，得到：
$$
\\begin{aligned}
2x_1+\\lambda &= 0\\\\
2x_2+\\lambda &= 0\\\\
x_1+x_2 &= 2
\\end{aligned}
$$
解得$x_1=x_2=1,\\lambda=-2$，因此最优解为$x_1=x_2=1$，最优目标函数值为$z=2$。
2. 求解下列非线性规划问题：
$$
\\begin{aligned}
&\\max z = x_1x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1^2+x_2^2=1\\\\
&x_1, x_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
解：将约束条件$x_1^2+x_2^2=1$转化为$x_2=\\sqrt{1-x_1^2}$，然后构造目标函数：
$$
z(x_1) = x_1\\sqrt{1-x_1^2}
$$
对$z(x_1)$求导，得到：
$$
z'(x_1) = \\frac{1-2x_1^2}{2\\sqrt{1-x_1^2}}
$$
令$z'(x_1)=0$，解得$x_1=\\pm\\frac{1}{\\sqrt{2}}$，因此最优解为$x_1=\\frac{1}{\\sqrt{2}},x_2=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$，最优目标函数值为$z=\\frac{1}{2}$。
三、整数规划
1. 求解下列整数规划问题：
$$
\\begin{aligned}
&\\max z = 5x_1 + 6x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\le 5\\\\
&2x_1 + x_2 \\le 8\\\\
&x_1, x_2 \\in Z
\\end{aligned}
$$
解：将整数规划问题转化为线性规划问题，得到：
$$
\\begin{aligned}
&\\max z = 5x_1 + 6x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\le 5\\\\
&2x_1 + x_2 \\le 8\\\\
&x_1, x_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
用单纯形法求解，得到最优解$x_1=2,x_2=3$，最优目标函数值为$z=28$。因为$x_1,x_2$均为整数，所以最优解为$x_1=2,x_2=3$，最优目标函数值为$z=28$。
2. 求解下列整数规划问题：
$$
\\begin{aligned}
&\\max z = 3x_1 + 2x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\le 4\\\\
&2x_1 + x_2 \\le 5\\\\
&x_1, x_2 \\in Z
\\end{aligned}
$$
解：将整数规划问题转化为线性规划问题，得到：
$$
\\begin{aligned}
&\\max z = 3x_1 + 2x_2\\\\
&s.t.\\\\
&x_1 + x_2 \\le 4\\\\
&2x_1 + x_2 \\le 5\\\\
&x_1, x_2 \\ge 0
\\end{aligned}
$$
用单纯形法求解，得到最优解$x_1=1.5,x_2=2.5$，最优目标函数值为$z=10$。因为$x_1,x_2$均为整数，所以需要继续求解。将目标函数改为$z=3x_1+2x_2+\\epsilon(x_1+x_2)$，其中$\\epsilon$为一个足够小的正数，然后用分支定界法求解，得到最优解$x_1=2,x_2=2$，最优目标函数值为$z=10$。
总结
最优化方法是一门重要的数学学科，它在工程、经济和科学等领域中有着广泛的应用。通过学习本文提供的最优化方法课后习题的答案，相信大家对于最优化方法的应用和解题方法有了更深入的理解。在实际应用中，需要结合具体问题选择合适的求解方法和工具，以获得最优的结果。